【什么是综合除法】综合除法是一种用于多项式除法的简便方法，尤其适用于将一个多项式除以一次式（如 $x - a$）时。它比传统的长除法更高效、步骤更少，能够快速求出商和余数。综合除法常用于因式分解、求多项式的根以及验证多项式是否能被某个一次式整除。
一、综合除法的基本概念
综合除法是基于多项式除法原理的一种简化形式，适用于除数为一次式的情况。其核心思想是通过系数的递推计算，快速得到商多项式和余数。
二、综合除法的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 写出被除式的各项系数，按降幂排列，若缺少某项，则用0补上。 |
| 2 | 确定除数的形式为 $x - a$，其中 $a$ 是常数。 |
| 3 | 将 $a$ 放在左上方，写下被除式的系数。 |
| 4 | 将最高次项的系数直接带下。 |
| 5 | 乘以 $a$，加到下一项的系数上，重复此过程直到最后。 |
| 6 | 最后一行的数字即为商的系数，最后一个数为余数。 |
三、综合除法示例
假设我们要用综合除法计算：
$$
(x^3 + 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 2)
$$
步骤如下：
1. 被除式系数：1, 2, -5, 6
2. 除数为 $x - 2$，所以 $a = 2$
| 1 | 2 | -5 | 6 | |
| 2 | 8 | 6 | ||
| 1 | 4 | 3 | 12 |
- 商为 $x^2 + 4x + 3$，余数为 12
四、综合除法与传统除法的区别
| 特征 | 综合除法 | 传统除法 |
| 适用范围 | 仅适用于一次式除数 | 适用于任何次数的除数 |
| 步骤 | 更简洁，步骤少 | 步骤多，计算繁琐 |
| 计算速度 | 快速 | 较慢 |
| 适用场景 | 因式分解、求根、验证 | 一般多项式除法 |
五、综合除法的应用
1. 因式分解：若余数为0，则 $x - a$ 是多项式的一个因式。
2. 求多项式的根：通过试根法结合综合除法可快速找到多项式的根。
3. 验证多项式除法结果：可以快速检查除法是否正确。
六、总结
综合除法是一种高效的多项式除法技巧，特别适用于除数为一次式的情况。相比传统除法，它步骤更少、计算更快，是数学学习中非常实用的工具。掌握综合除法有助于提升解题效率，并加深对多项式结构的理解。