有限覆盖定理证明闭区间套定理（区间套定理）

大家好，我是小新，我来为大家解答以上问题。有限覆盖定理证明闭区间套定理，区间套定理很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、

1、题设：设f(x)在【a，b】上连续，证明：f(x)在【a，b】一定有界。

2、证明：假设f(x)在【a，b】上无界。【a，b】= [a, (a + b) / 2] + [(a + b) / 2, b]

3、上述两个子区间有【a1, b1】使得f(x)无界。【a1，b1】= [a1, (a1 + b1) / 2] + [(a1 + b1) / 2, b1]

4、上述两个子区间也至少有一个子区间【a2, b2】使得f(x)无界。由将【a2, b2】分成两个相等区间，至少有一个【a3, b3】使得f(x)在其上无界。如此下去得到一串闭区间【an, bn】n = 1,2,3,4...使f(x)在其上无界。易见：...包含于【an, bn】包含于...包含于【a3, b3】包含于【a2, b2】包含于【a1, b1】包含于【a, b】由收敛准则Ⅱ有：lim an(n→∞)和lim bn(n→∞)存在。又bn - an = （b - a）/ 2^n，所以，lim (bn - an) = 0(其中n→∞)，从而推出lim bn = lim an = §(an≤§≤bn，§∈【a，b】)那么由f(x)在【a，b】上连续推出lim f(x)

5、= f(§)(x→§ )取§ = 1，∃σ > 0当∣x - §∣< σ时，有f(§) - 1 < f(x) < f(§) + 1。对σ > 0，∃N，当n > N时有§ - σ < an < bn < § + σ 所以，当x ∈【an, bn】时，有f(§) - 1 < f(x) < f(§) + 1从而推出f(x)在【an, bn】上有界，这与假设矛盾，假设不成立，所以定理得证。

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