【二进制十进制转换公式】在计算机科学和数字系统中，二进制和十进制是两种最常见的数制系统。二进制仅由0和1组成，而十进制则使用0到9的数字。在实际应用中，常常需要将二进制数转换为十进制数，或者反过来。本文将总结二进制与十进制之间的转换方法，并以表格形式展示关键公式和示例。
一、二进制转十进制
二进制数每一位代表的是2的幂次方，从右往左依次为 $2^0, 2^1, 2^2$……以此类推。将每一位上的数值乘以其对应的2的幂次，然后相加即可得到十进制结果。
公式：
$$
\text{十进制值} = \sum_{i=0}^{n-1} (\text{二进制位} \times 2^i)
$$
其中，$i$ 是该位的位置（从右往左，从0开始计数）。
二、十进制转二进制
将十进制数不断除以2，记录每次的余数，直到商为0。最后将余数倒序排列，即为对应的二进制数。
步骤：
1. 用十进制数除以2，记录余数；
2. 将商继续除以2，重复步骤1；
3. 直到商为0为止；
4. 余数从最后一个到第一个排列，即为二进制表示。
三、常见转换示例
| 二进制数 | 十进制数 | 转换过程说明 |
| 101 | 5 | $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5$ |
| 1101 | 13 | $1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$ |
| 1001 | 9 | $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9$ |
| 1110 | 14 | $1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14$ |
| 十进制数 | 二进制数 | 转换过程说明 |
| 7 | 111 | $7 ÷ 2 = 3$ 余1；$3 ÷ 2 = 1$ 余1；$1 ÷ 2 = 0$ 余1 → 111 |
| 10 | 1010 | $10 ÷ 2 = 5$ 余0；$5 ÷ 2 = 2$ 余1；$2 ÷ 2 = 1$ 余0；$1 ÷ 2 = 0$ 余1 → 1010 |
| 15 | 1111 | $15 ÷ 2 = 7$ 余1；$7 ÷ 2 = 3$ 余1；$3 ÷ 2 = 1$ 余1；$1 ÷ 2 = 0$ 余1 → 1111 |
| 20 | 10100 | $20 ÷ 2 = 10$ 余0；$10 ÷ 2 = 5$ 余0；$5 ÷ 2 = 2$ 余1；$2 ÷ 2 = 1$ 余0；$1 ÷ 2 = 0$ 余1 → 10100 |
四、总结
二进制与十进制之间的转换是数字系统中的基础操作，掌握其转换方法有助于理解计算机内部数据处理机制。通过上述公式和示例，可以清晰地看到两者之间的对应关系。无论是编程、电子工程还是日常计算，这些知识都具有重要的实用价值。